инвариантности относительно подгруппы группы преобразования подобия. Поэтому фундаментальное значение имеет отыскание групп, относительно которых инвариантны уравнения тех или иных физических явлений, а также инвариантных относительно этих групп решений. Естественно встает вопрос об алгоритме отыскания максимально широкой группы преобразований, относительно которой данная система дифференциальных уравнений инвариантна. Основные идеи здесь принадлежат Софусу Ли; в последнее время был получен ряд результатов общего характера и указаны приложения к частным системам уравнений, встречающимся в различных задачах механики и физики (см. монографии Л. В. Овсяникова [80], Биркгофа [112], Блюмана и Коула [113]). В перечисленных монографиях можно найти изложение общего подхода и многочисленные примеры. Проведенное выше изложение имело своей целью продемонстрировать общую идею использования более широких групп для поиска автомодельных решений на показательных примерах и указать на полезную в ряде случаев возможность формального применения стандартной техники анализа размерностей при работе с более общими группами. Разумеется, анализ размерности можно применять и не зная математической формулировки задачи* Казалось бы, использовать инвариантность относительно группы более общей, нежели группа подобных преобразований величин с независимыми размерностями, можно только располагая математической формулировкой задачи. На самом деле это не так, и инвариантность относительно более широкой группы тоже может подсказываться физическими соображениями.

Заметим, что рассмотрение автомодельных решений как промежуточных асимптотических представлений тесно связано с получившим в последние двадцать лет широкое развитие и применение методом сингулярных возмущений [211, 120, 157].

Автомодельные решения являются по смыслу внутренними или внешними асимптотиками решения полной задачи в зависимости от того, какой из масштабов независимой переменной берется за основу при анализе промежуточной асимптотики. Таким образом, определение постоянных, входящих в автомодельные решения второго рода, может в ряде случаев осуществляться сращиванием автомодельного решения с дополнительной асимптотикой.

7.5. Спектр показателей степени в автомодельных переменных

При отыскании показателей степени времени в выражении автомодельных переменных для автомодельных решений второго рода или, что то же, скоростей распространения для решений типа бегущей волны мы пришли к своеобразным задачам на собственные значения для нелинейных операторов. Эти задачи по своей природе близки к классическим задачам на собственные значения для линейных дифференциальных операторов, и для них также

встает вопрос о структуре спектра - множества собственных значений.

Действительно, вспомним хорошо известную задачу колебаний струны, описываемую уравнением

daU=dlu + q{x)ti (7.35)

( - смещение; х -координата, отсчитываемая вдоль струны; t - время) при условиях закрепления на концах

й(0, t) = u{U 0 = 0 (7.36)

(/ - длина струны). Разделяя переменные, мы ищем решение в виде

и = ехр {i л/и) Ч (X, I), (7.37)

Для определения Ч(х, К) при этом получается краевая задача

V {X, l)+\l+q (х)] (X, I) = 0; (7.38)

ЧР*(0, м = (, М = о.

Вообще говоря, при произвольном А., нетривиального решения этой краевой задачи не существует. Имеются, однако, исключительные значения А. -собственные значения, при которых нетривиальное решение краевой задачи (7.38) существует. Эти собственные значения образуют множество (спектр) той или иной структуры: дискретный, непрерывный, смешанный и т. д. в зависимости от свойств функции q (х).

Можно взглянуть на все это несколько иначе. Уравнение (7.35) и граничные условия (7.36) инвариантны относительно двухпара-метрической группы преобразований

и = ащ f = + p; х = х. (7.39)

Это означает, что, подставляя соотношения (7.39) в (7.35) и (7.36), мы снова получаем ту же задачу в переменных и\ x f при произвольных параметрах группы - постоянных а и р. Разделяя переменные, мы на самом деле ищем решения, инвариантные относительно некоторой однопараметрической подгруппы этой группы. Подгруппа соответствует следующей связи между параметрами а и Р:

а = ехр (~/VP) (7.40)

а инвариантные решения имеют вид (7.37). Собственные значения X, определяющие подгруппу, находятся из условия существования инвариантного решения (7.37) в целом, т. е. решения, удовлетворяющего условиям (7.36).

Вполне аналогичная ситуация имеет место и для решений типа стационарных бегущих волн. В самом деле, чтобы такое решение существовало, уравнения и граничные условия должны быть ин-

вариантны относительно двухпараметрической группы преобразований сдвига f, f = t-[-\ и = и, (7.41)

Отыскивая решение типа бегущей волны, мы и здесь ищем од-нопараметрическую подгруппу этой группы преобразований, соответствующую а = A.p4-const, где А. - собственное значение, и решение, инвариантное относительно этой подгруппы:

и{х\ П = а{х, t).

Собственные значения К, выделяющие из основной группы од-нопараметрическую подгруппу, также определяются из условия существования инвариантного решения в целом, т. е. удовлетворения инвариантным решением уравнению и граничным условиям. Спектр собственных значений и в этом случае может иметь различную природу. Так, в рассмотренной в предыдущей главе за-

Рис. 7.1. Уединенная волна - солитон.

даче о распространении гена он непрерывен и полуограничен: X Xq. в задаче о распространении пламени спектр состоит из одной точки. Любопытна ситуация с замечательным уравнением Корте-вега-де Фриза, первоначально полученным в теории волн на поверхности, мелкой воды и нашедшим затем многочисленные применения в других задачах (см. Д51, 145]):

dtU + adxU + ?> dlxxu = 0. (7.42)

Здесь для задачи теории волн и с точностью до постоянного множителя- продольная компонента скорости, постоянная в данном

приближении по глубине канала: р == соЛ/б, со= /gh\ g -ускорение силы тяжести; Л -глубина невозмущенного слоя жидкости; t - время; X - координата в системе, движущейся относительно покоящейся на бесконечности жидкости со скоростью Со. Аналогичное уравнение справедливо в соответствующем приближении и для возвышения свободной поверхности над ее невозмущенным уровнем. Уравнение (7.42) имеет решения типа бегущей волны, так называемые солитоны (рис. 7.1):

= (£) = % ch [Vo/12p], (7.43)

где 1 = x - Xt+c, uo = 3X. Решение (7.43) при любых Х> О удовлетворяет условиям

tt(oo) = tt(-oo) = 0. (7.44)