Таким образом, получается другое выражение для коэффициента а, входящего в условие устойчивости (5.39). Это выражение можно записать так:

р->0

где V

- определяется из уравнения

lim -

рО Р

= 0.

(5.63)

(5.64)

Выражение в фигурных скобках представляет собой среднюю за период 2я/v комплексную жесткость при движении оси вала ротора по бесконечно малой орбите вокруг оси подшипника.

Вычисление а и v согласно (5.63) и (5.64) производится йутем решения краевой задачи газовой смазки для установившегося орбитального движения вала по окружности бесконечно малого ра-. диуса р. На основании этого решения вычисляется комплексная реакция Fi [ре* ], а затем интеграл, входящий в (5.63) и (5.64).

Исходное уравнение Рейнольдса для цилиндрического подшипника имеет вид (3.20), но решается это уравнение для функции зазора Я, соответствующей орбитальному движению.

Здесь следует различать два случая: неподвижного и вращающегося профиля.

В первом случае функция зазора Я зависит от времени только через посредство эксцентриситета, и при нулевом эксцентриситете стационарна. Во втором случае функция зазора зависит от времени явно даже при нулевом эксцентриситете, тогда в первом случае функция зазора может быть записана в виде:

Н=Ке\Зё}; <#= 1-ре(х-Ф)+т1и(,ф); (5.65) во втором случае - в виде:

Я=Ре}; = 1 - ре(т-ч + Т1И (S, ф, т), (5.66)

где и (g, ф, т) - периодическая функция времени т с периодом 2л/у; р-радиус орбиты; rj - относительная амплитуда профиля.

В случае периодического профиля функции и {t ф) и и (, ф, т) имеют период по ф, равный 2л/п {п -число секций профиля).

, Решение краевой задачи в обоих случаях можно-искать в виде ряда

~Р = Ро + рРг + рР2+--- (5.67)

Так как р - бесконечно малая величина, то можно ограничиться только двумя членами. Подставляя (5.67) в .уравнение Рейнольдса 136

(3.20), в котором Я надо заменить выражением Я из (5.65) или (5.66), и группируя члены при одинаковых степенях р, можно

получить два уравнения для Pq и Pj. Первое из них соответствует несмещенному положению вала, второе уравнение линейно. Решение обоих уравнений связано с большим объемом вычислений на ЭВМ. Желая получить простое аналитическое решение, рассмотрим вычисление вихревой жесткости, с применением обобщенного метода РЯ-линеаризации. Выразим комплексную реакцию Fi в форме (4.66). Тогда можно записать

АяЪчйф, (5.68)

Пи /

где тильдой отмечены функции, соответствующие орбитальйому движению.

Для определенности положим, что профиль неподвижен. Тогда функция зазора Н = + АЯ выразится по формуле (5.65):

Яо = 1 + пи (ф); АЯ = -RelpeMvt-Ф)}, (5.69)

где и (, ф) - периодическая функция по ф с периодом равным 2л/п, где 5= 3.

Функции Yo(l, ф) и AF(, ф, т, р) определяются как слагаемые периодического решения.(F) нестационарного уравнения Рейнольдса, первое из которых соответствует концентрическому

положению вала. Согласно определению функции У имеем

Y = - Н = Я(Р-1) = Re{X\.

(5.70)

Определим вначале функцию Y в 1-м приближении. Исходя из уравнения (3.48), после подстановки ф = Я + F получим:

Пф + yoYk - XoK - = ХоЯф + Й;

>/£=±1 = 0; Г/ф = Г/ф+2я. (5.71)

В комплексной форме соответствующая задача будет иметь вид:

Зё /Е=±, = 0; /ф = Х/ф+2 . (5.72)

Подставляя в (5.72) Ж из (5.65) и полагая X = io + Ai, уолу-чим два уравнения:

(io);v + Оо (ifo)gc-Хо (о)ф = пхоУф;

Air;-- оо Ajfss -Хо Aiф -AJ = ip(Xo -V) г - К (5.73)

Решив эти уравнения при однородных граничных условиях:

ЛГо/£=±1 = AX/s=±i = 0; ЖоЫ = Йо/ф+гя; АЖ1 = АТ/ф+2я,

(5.74)

легко найдем искомое первое приближение

= Re \Жо + АЖ,\ = + АП. (5.75)

Для определения 2-го приближения будем исходить из уравнения (3.57) для поправки.

Так как правая часть уравнения (3,57) от ф не зависит, то поправку можно представить в виде

А = Ао(0 + рФо (S,T),

(5.76)

где До (Q - поправка к стационарному решению при нулевом радиусе орбиты (находится из расслотрения стационарной краевой задачи для центрального положения вала, см. приложение 4); Фо (£. г) - некоторая периодическая функция т, обращающаяся в нуль, при S = ±1. Таким образом, во 2-м приближении решение представляется в виде

r=n-f А = П--А (0--рФо(1,т) (5.77)

или согласно (5.75):

n = io + AQ; А>= АП + рФо(,т). (5.78)

Подставим (5.78) в (5.68) и рассмотрим получающиеся интегралы при rt 3. Первый интеграл равен

(5.79)

Заметим, что член, пропорциональный р, при интегрировании обращается в нуль в силу ортогональности периодических функций, так как предполагается, что число канавок подшипника п > > 3. Второй интеграл в первой части (5.68) в силу (5.69) преобразуется так:

АЯеф ф dS = р I J [е

(VT-ф) g-i (VX-ф)] gi<p (iff dz,=

(5,80)

Здесь второй член также обращается в нуль по ортогональности функций.

Действительно, Yq (t, ф) является периодическим решением стационарной задачи; и так как и (ф, Q имеет период 2л/п {п 3), то и Yo {I, ф) будет иметь тот же период. Следовательно, функ-

ция YJHI ортогональна функции е* на интервале интегрирования О < ф < 2л. у-

Учитывая (5.79) и (5.80), получим для (5.68) преобразованное выражение

± [ре-] = p PL j j еф йф dS -

- parl е- III ddl,

(5.81)

где Го = + Ao (0; Ai = Re {АЖ\; АЖ определяется как решение уравнения (5.74). Далее, возвращаясь к исходному выражению (5.63) для вихревой жесткости, вычисляем

р 2я

f, [ре-] е--1 dx,=

1ЙФС

(5.82)

Обратим теперь внимание на то, что второй член в правой части выражения (5,82) вещественен, а первый обращается в нуль при V = Хо- Действительно, согласно (5.74) при v = Хо получаем

АЖ = О, следовательно, н AY, = 0.

Итак, во 2-м приближении получаем из (5.68) следующее выражение для вихревой жесткости при л 3:

f йф dS = i- ( ( Щ ЙФ dl. (5,83)

(s) . (s)

Отсюда видно, что уточнение вихревой жесткости в рассматриваемом случае сводится к вычислению аддитивной поправки к статическому решению Ую, которое получается как 1-е приближение РЯ-линеаризованной краевой задачи. Так как при v = Хо ~ выполняется условие (5,64), то, следовательно, угловая скорость вихревого движения на пороге устойчивости равна половине угловой скорости собственного вращения ротора Это значит, что во 2-м приближении с учетом сделанных допущений поправка к угловой скорости вихря равна нулю.

Напомним, что результат (5.83) получен для нулевой радиальной нагрузки и гладкого вала в предположении, что профиль подшипника периодический по координате ф с периодом 2я;/п при rt 3.

Для случая смещенного положения динамического равновесия при постоянной радиальной нагрузке в выражении (5.83) появляются дополнительные слагаемые. Действительно, при наличии смещения функция зазора Яо соответствующая положению равновесия, будет уже иметь период по ф, равный 2я (а не 2я/ ), следовательно, ее ряд Фурье содержит ненулевую первую гармонику. Это отразится на выражениях (5.79) и (5.80), в которых теперь следует учитывать дополнительные члены.

Известно, что в случае непрофилированных радиальных подшипников устойчивость достигается за счет смещения положения динамического равновесия под действием постоянной радиальной нагрузки. Можно показать, что для профилированных подшипников нагрузка увеличивает запас устойчивости.

Рассмотрение случаев = 1 и 2 как для смещенного, так и несмещенного положений динамического равновесия можно провести тем же методом с учетом сделанных выше замечаний.

Покажем, что для неподвижных гладких подшипников и профилированного вала при отсутствии нагрузки и 3 вихревая жесткость может быть вычислена также с помощью формулы (5.83).

В самом деле, если профиль расположен на валу, который вращается со скоростью й и совершает орбитальное движение со скоростью Q/2, то функция зазора (5.66) может быть записана так:

= 1 - ре (VT-Ф) щ ф vт).

Функции Ко и Яо входящие в (5.68), теперь зависят от времени т;

обозначим их соответственно через Yq и Яо- Далее заметим, что вариация зазора, обусловленная вихревым движением, останется такой же, как и в случае невращающегося профиля. В силу этого уравнение (5.74) также не изменится. Если проследить вывод формул (5.79) и {5Я0), то можно убедиться, что структура их не

изменится, но вместо Яо и Ко надо подставить в них Яо и Ко-Дальнейшие выводы по аналогии дают следующий результат:

2л Хо

Хо 8я

d(fd.

(5.84)

Так как Ко и Яо определяются относительно неподвижных координатных осей, связанных с подшипниками, а профиль вращается с угловой скоростью вала Q то, учитывая связь между безразмерным и размерным временем т = Ci/2%ot имеем:

Я = Яо(ф -2ХоТ); УоУо{ц>~2ХоХ), (5.85)

где Ко и Яо соответствуют случаю невращающегося профиля. Подставив (5,85) в (5.84) и сделав замену переменной интегриро-140

вания Ф1 = Ф

-2x01. получим: 1

Отсюда следует, что при отсутствии радиальной нагрузки и прочих равных условиях вихревая жесткость для вращающегося профиля будет равна вихревой жесткости для невращающегося профиля. Это более наглядно можно понять, представив себя наблюдателем в системе координат, вращающейся с линией центров.

27. Влияние упорных подшипников на запас устойчивости ротора катушечного типа по отношению к коническим колебаниям

В п. 24 рассматривался вопрос об устойчивости динамического равновесия при угловых колебаниях роторов машин с опорами катушечного типа, при этом учитывалось влияние упорных подшипников. В действительности упорные подшипники в машинах (гироскопах) катушечного типа увеличивают жесткость опоры и оказывают дополнительное стабилизирующее влияние.

Как главный вектор, так и главный момент сил давления в смазочном слое упорного подшипника Могут быть вычислены аналогично радиальному с той лишь разницей, что для упорного подшипника краевые задачи статики и динамики следует формули- -ровать в полярных координатах. Заметим однако, что в большинстве конструкций несущая часть упорного подшипника имеет форму кольца. Это позволяет иногда произвести приближенную оценку на основании решения модельной краевой задачи для прямоугольной полосы или цилиндрического подшипника.

Нас будет интересовать в первую очередь момент, создаваемый упорными подшипниками, при угловых перемещениях вала. Этот момент мы вычислим следующим образом. Обозначим вариацию безразмерного давления в смазочном слое при угловых перемещениях вала (см. рис. 20) через АРу . Эта вариация действует на элементарной площадке ds = rdffdr и вызывает элементарную осевую силу dFy = раРупГ d(f dr. Соогветствующии элементарный момент пары сил двух упорных пластин относительно центра О подшипника

г cos ф

г sin ф

= 2г (fe sin ф - ri cos ф) df уп. (5.86)

В комплексной форме этот момент запишется так:

dSi = 2 (г dFyr, sin ф - i,d f уп cos ф) -2ire f dFy.

(5.87) 141