Приходим к одномерному неоднородному УГ

Фуу[к(у)-]Ф = Щ.У) (7.3)

Пусть Фп(у) и Х - собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (ШЛ):

) +А:0) ф = Хф. ф(0) = ф(1г) = 0. (7.4)

Раскладывая Ф и F по собственным функциям Фп(у) задачи ШЛ:

Ф(1у)= 2Л (у), апа)Фп(у). (7.5)

,1=1 =1

находим, что () = йг () (Л - 5) . Окончательно получаем

и(х,у)= i 7 ?)(X -?)-4,a(y)exp(/W?. (7.6)

Поскольку Дх, >) финигиая по л функция, т.е. отлична от тождественного н>ля на интервале а <х < Ь, то ее трансформация Фурье F(, у) целая по 5 функция. Следовательно, все амплитуды ап() тоже целые функции. Поэтому интеграл равен сумме вычетов

и(ХуУ)=-тт laiFn)- Фп(у)ехр(Г1хуГК) (7.7)

при X <а их > Ь. Пусть, например, Дх, у) = 5(х)5Су - jo) Тогда F(, >) = = 50 - >о)- Следовательно, д () = Фп(Уо) Если для однородного УГ в полуполосе х > О при условии w \ - 8(у - Уо) существовало решение

и(х у) = S (yo) (y)exp(£xVX ), (7.8)

то в случае Дх, у) = 5(х)5(у ->о) имеем решение

и(ХуУ)=т1:ф(уо)Х-Фп(у)ехр(1Х>УХп) (7.9)

Дифференцируя и(х, у) по х, получаем и(х, у) = ям (.х:, з).

8. ФОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ЗАДАННЫМ СПЕКТРОМ

Ряды Фурье по синусам и экспонентам являются разложениями, в которых нет необходимости находить систему ортогональных функций. При решении задачи ШЛ в общем случае этого уже не удается избежать. Однако часто такое разложение необходимо для того, чтобы сформировать функцию с заданным спектром, например, соответствующим распространяющимся нормальным волнам.

Конечно, если есть ортонормированная система собственных функций 1 п(у) \ , по которой разложена заданная функция Д

т-аф(у), (8.1) 1

то сформировать функцию Ду) со спектральными компонентами ... flfv

не представляет никаких сложностей. Однако всегда достаточно сложно

найти систему { Фп(у)! Для этого надо решить задачу ШЛ (М - оператор ШЛ)

Мф= ф -к\у)ф = Хф. ф(0)=ф(7г) = 0. (8.2)

Затем необходимо найти коэффициенты йг,. Все это сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Их можно избежать, если приближенно положить Ду) ~/(у), где

h)=n(p)anФn(y). (8.3)

а Atn(p) - величины, близкие к единице при Aj < Л < Л2 и к нулю при Х Ai2 о причем

( 1 Л, <Л <Л2, lim 11 (р)= (8.4)

i О Л й Ai,2.

Можно положить

М 0)=[1+/(Х)1-*= Й(1+тз/(Х))-, (8.5)

S= 1

где/(Л)- линейная функция 2Х Л2 + Ai

А2-А1 А2-А1

равная - 1 при X = Ai и +1 при X = А2, обращающаяся в нуль при 2Х = = Ai + А2. Эта функция по модулю меньше единицы внутри интервала и больше единицы вне его. Поэтому условие (8.4) выполняется. Величины 1 - Тр (Р - четное число) - комплексно-сопряженные корни алгебраического уравнения

1+гр = 0, (8.7)

Ts = ехр [in/p + (2i7r/p) (s - 2)].

Для вычисления функции /(у) образуем следующую последовательность функций/1(к),/2(кХ.-.,Л01-/рМ*

ГЛ2МЛ(У)-(Л2 +Ai)/.(y)] + [Л2 - AJ/30) = (A2 -АОЛ-iCv), /рО)=/(у), Л(0) = Л(я) = 0. (8.8)

Получаем fp(y) = f(y), При этом необходимо решить на интервале О < v < я р краевых задач для уравнения (8.2) с комплексными переменными коэффициентами. Это можно сделать при помощи аппроксимации оператора М его разностным аналогом и метода прогонки [47, 54, 75].

9. ЗАКОН СНЕЛЛИУСА ДЛЯ СЕТОЧНЫХ СРЕД

Волны в сеточной среде ведут себя более сложным образом, чем в сплошной. Возникает дисперсия скорости сеточных волн, их специфическая групповая скорость, обусловленная дискретными свойствами сетки.

Рассмотрим пример. В сплошной среде у плоской волны ехр(/Ьс - icot),

к = cj/c, удовлетворяющей УГ и (х) + ки(х) = О, групповая и фазовая скорости совпадают. В сеточной среде для волны ехр (1кх - /сог), удовлетворяющей разностному УГ Lu + ки = О, имеем 8ш(к/г/2) = kh/l. Возникает дисперсия скорости. Находим

- = -=с- =(l-v/4гv

Эа; ЭА:

Откуда trp = с(1 - khi. Для данного примера в сеточной среде имеется нормальная дисперсия, при которой групповая скорость растет с ростом частоты со. Она при фиксированном шаге сетки убывает с уменьшением частоты и обращается в нуль при kh = 2.

Сетка также влияет на углы преломления разностных волн, на законы Дреломления волн, переходящих из одной сеточной среды в другую. Оценим ее влияние, рассмотрев следующий пример. Введем на плоскости XV сетку с шагом / по оси у и рассмотрим два следующих дифференциально-разностных уравнения Гельмгольца:

+ L]u{Xy у) + ей{Ху у) = 0 З; < 0; (9.1а)

1хх+?/(,;) + ? (,3) = 0, У>0. (9.16)

В среде 3 < О (коэффициент У Г к) возьмем плоскую падающую волну о (л:, у) = exp(f5x + ipy), где р = 2r4rcsin[( 2)VF~~p ]. В среде > О (i) рассмотрим прошедшую волну Ui{x, у) = а;ехр(/ + iPiy), где Pi = = 2rarcsin(Vf~-), о; - коэффициент прохождения. Полагая, что фаза падающей волны постоянна, получаем соотношение ix + ipy = const. Из него находим, что фронт падающей конечно-разностной волны наклонен к оси л: под углом

tg= -Г/ 2 arcsin(0,5/V5F ). (9.2а)

Аналогичным образом находим, что фронт прошедшей конечно-разностной волны наклонен к оси х под углом

tgi = -2rrarcsin(0,5/VA: - ). (9.26)

Выразить параметр в явном виде из (9.2а, 9.26) не удается. Не удается и исключить 5 на этих уравнений так, чтобы получить связь между ф ирх -закон Снеллиуса для сеточных, сред. Только в предельном случае, когда / -> О, находим iQp = \1к - Хр = \Ai - 1% Исключая имеем закон Снеллиуса в обьином виде /соар = к cosii.

Рассмотрим другой частный случай, когда угол скольжения в среде у>{к\) равен нулю кр = 0. Имеем %- к. Будем считать, что к < к, т.е. скорость Ci > с. Получим

2/sin()=Vr:nr. (9.3)

Если / -> О, то к\х к - к], т.е. klunip = (к - k\)cos, или соар = = ki/k = c/ci. Мы получили известное соотношение для угла полного внутреннего отражения [62].