Поскольку VI + z = 1 +z/2- Vs + Vie* - */i28z* + тоошибкав (4.5) Ег = 7з2 Согласно (4.5) находим уточненное ПУ (УПУ) для

у<2) [ = F<2> ехр (to)]

2ikVi> + Vj,]}- (112ik) Vpy = 0. (4.6)

Наконец, полагая з = /З, = О, находим из первых трех уравнений (4.4) 1 = й + ч/М, 2 = / - \/2У4, j3, = й. Откуда

-(rf)4i-f)]/(-r)

1 +iz)=-l +z/2-z/8+z/16-...

(4.7)

Следовательно,

lnie - 1 = h -- / 1 - - (4.8)

с ошибкой Ез=- А2*/(128 /*). Находим УПУ (и = V< ехр (ikx))

2ikV</ + (l/ik) Vxpy + (1/4/:) Р;; = 0. (4.9)

Таким образом, кроме обычного ПУ (4.3), можно сконструировать уточненные ПУ. Их удобно использовать для уточнения узкоуглового приближения как вблизи =0, так и вблизи любого а2=а2о

Был рассмотрен простейший случай однородной среды к = const. В случае слоистой среды можно положить = \/к + (п ~ ) ~ \/ТТП где Z = \п - к /к. Оператор X соответствует образованию уравнения ШЛ Хф = А:(у) i + фу у. Все остальные приближенные формулы для у/\ + и УПУ остаются такими же, как для к = const. В дальнейшем получим ПУ и УПУ для негармонической зависимости от времени.

Можно написать неявную разностную схему для любого уточненного ПУ, а также показать, что она устойчива при любых параметрах сетки /, Л. Например, в случае уравнения (4.6), переходя к неявной разностной схеме, а затем получая характеристическое уравнение для Л = ехр (/к Л), имеем

(2ВД)(Л-Л-*) + (Л+ Л-)

4 . 2

- - sm

2ikl

[sin (nl/2)] (Л-Л-) = 0.

(4.10)

Отсюда следует, что lAi,2l =1.

5.МОДИФИЦИРОВАННОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Для полуполосы х>0, 0<у<7г вместо ПУ 2ikVx + Vyy = О рассмотрим модифицированное параболическое уравнение

2ik(V-aVyy)xVyy = 0, (5.1)

где а - некоторый положительный коэффициент. Имеем

Vix, у) = sin {пу) ехр [- Ьс 1{2к + сш)]. (5.2)

Конечно, член с а вносит неизбежную ошибку в решение ПУ. Однако и само ПУ - приближенное решение УГ с ошибкой Е в фазе для п -нормальной волны порядка Е> = ikx n/(Sk). В случае (5.2) найдем ошибку F<> в фазе (- ikx Цк) (1 - сш). Имеем а/4А:

Полагая а к~, видим, что ошибки Е и Е будут одного и того же порядка.

Кроме ошибки, возникающей вследствие аппроксимации У Г параболическим уравнением, и ошибки, связанной с коэффициентом а при численном решении МПУ, будет ошибка вследствие разностной аппроксимации. Это понятно. Ясно также, что не следует добиваться высокой точности, уменьшая только одну какую-нибудь ошибку. Более важным является возможность повысить эффективность схем. Рассмотрим пример. В обычном ПУ использование явной схемы

2ik [V{x + /г) - V{x - h)] /(2h) -LlyVO (5.3)

приводит к ограничению на шаг h в зависимости от шага / 2klh > 4/Я илиЛ <2/: 4===/го,где

ho = (2А:/4) (тг /N) = тгk/2N . (5.4)

Воспользуемся для решения МПУ такой неявной схемой

2ik [V(x +/г) - all у V(x +/г)] - [V(x - h) - all у V(x - h)] l(2h) +

LlyV(xy) = 0, (5.5)

в которой член Lf у V(x, у) входит на среднем слое х. В то же время член (- oivyy)x аппроксимируется конечной разностью по х на слоях х ± h. Следовательно, схема (5 5) девятиточечная. Значения V(x +/г, >), связанные в узлах у ± I, необходимо искать с помощью метода прогонки. Для (5.5) получаем характеристическое уравнение

(2kfh) [1 + (а 4 ) sin (nl/2)] sin Kh - (4/1) sin (nl/2) = 0. (5.6)

Oho имеет вещественные корни /с при условии

2k/h>4l-/(\ +а4Г2). (5.7)

Пусть нас интересуют нормальные волны не выше номера о, а число узлов сетки на нормальном сечении волновода пусть будут N. Полагаем

a=(noN)-\ (5.8)

Тогда

h<2k(la4/-)/(а4Г)- 2к/(поЮ = ho/a. (5.9)

Видно, что ho > h, что позволяет вычислять поле, двигаясь вдоль оси волновода более крупным шагом.

Глава III

ТОЧНОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Числа сами по себе могут не показать ничего или даже вводить в заблуждение.

Дж. Холтон

В условиях естественного отбора, в которых формируется мозг, предпочтение отдается быстрым, хотя и приближенным решениям, а не точным, но медленным.

1. ТОЧНОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ В ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧАХ

Конструирование явных и неявных разностных схем представляет собой сложную задачу. Но еще более сложную задачу представляет анализ каждой схемы на устойчивость, сравнение ее по скорости, точности и эффективности с другими схемами и другими методами вычисления. Не менее важным критерием является сравнительная простота, надежность схем. Усложнять схемы легко, упрощать их - сложно. Простота схемы сопровождается ее эффективностью и универсальностью [9, 27, 34, 38, 44, 47-57, 74, 75,81,86, 88, 89, 108].

В математической физике широко применяется метод сведения многомерных задач к более простым одномерным - метод разделения переменных. В вычислительной математике аналогичные соображения стали тоже совершенно необходимы. Так, например, в методе расщепления оператора на сумму или произведение более простых операторов осуществляется сведение сложной задачи к более простой, одномерной. То же самое происходит в методе переменных направлений, дробных шагов. Для сложных волновых задач в [53] была показана универсальность метода хопскоч и его схем для пространств любого числа измерений, работающих на любой сетке и с любой точностью. Однако при этом рассматривались краевые задачи.

Нам необходимо рассмотреть разностные начальные задачи и схемы для волноводов и оценить их основные параметры. Сама линейная волновая задача для волноводов сравнительно несложная. Она описывается простыми скалярными линейными уравнениями: волновым, Гельмгольца, параболическим. В этом ее отличие от сложных векторных, тензорных, нелинейных уравнений, систем уравнений в аэродинамике, теории горения и взрыва, теории плазмы, теории элементарных частиц, теории упругости. Но именно простота и сравнительная наглядность волновых задач позволяет полнее сосредоточить внимание на разностных схемах, позволяющих решать непосредственно сами уравнения, а не тратить силы и время на поиски теоретических решений, которые затем приходится обсчитывать .

Введение сетки в волноводе, замена дифференциальных уравнений конечно-разностными и численное решение их позволяет более просто и наглядно получить полные волновые поля, чем в случае поиска сложных

Холтон Дж. Социальные показатели в системе научно-технической политики: Сб.

переводов. М.: Прогресс, 1986. С. 34. В мире науки. 1989. № 9. С. 8.