Jcl>2. Это позволяет оценить величину ошибки согласно (1.15). Если же предположить равномерное распределение энергии по всем модам, то для пятиточечной схемы будем иметь

Р/ = (е/60 1)(к1)Чх. (1.16)

Например, при А:/ = 2, е = 10 (2(9 = 12°), А: = 10 х= 10 имеем £5 = = 1/40, 27/ 0,005.

Конечно, многоточечная аппроксимация Vyy нам необходима в ПУГ при использовании явных схем (ЯС), для которых kl > 2, к > 0. Рассмотрим Я С для ПУГ (1.14)

[IxLl] V(xy)2ikiV<xhy)--V(х-К 3)) (1 /2Л) = О, (1.17)

где L]у - разностные аналоги вторых производных по хи по;;. Полагая, что зависимость от у дг-й нормальной волны имеет вид sin пу, а зависимость от х ехр( с х), из (1.17) находим характеристическое уравнение

(,-2klh) sin Kh- (4/h) (/с Л/2) - (4/P ) sin(nl/2) = 0 (1.18)

sin Kh = д +b cosK /z, (1-19)

= (-2 kh/k4)sin\nl/2) - l/(kh), = l/kh.

Чтобы корни были вещественными, необходимо < 1 + Ь. Откуда следует неравенство

kho <kly/ei/A-\\ (1.20)

имеющее смысл только при kl>2. Поэтому схема (1.17) устойчива только при kl>2.B то же время из (1.20) следует, что h<ho, где hg определено равенством (1.20).

А Понятно, что улучшить аппроксимацию в (1.17) второй производной Vxx можно просто уменьшая шаг h. Однако при этом мы проиграем в скорости. Если же мы хотим повысить точность, сохраняя примерно прежним объем вычислений, т.е. оставляя шаг h большим HHq, то можно аппроксимировать V на 5, 7 и т.д. узлах по формуле Ричардсона [74].

В однородном волноводе гладкость среды по координатам х }л. у одинакова. Поэтому при многоточечной аппроксимации производных следует в первую очередь принимать во внимание изрезанность самого волнового поля по X и по 3;. В неоднородном волноводе многоточечная аппроксимация позволяет повысить точность в зависимости от того, по какой из координат гладкость среды выше. В слоистых волноводах среда является более гладкой вдоль оси волновода. Это и предопределяет выбор разностной схемы.

Улучшение аппроксимации вдоль оси волновода по х по формуле Ричардсона нам будет особенно необходимо при использовании неявной схемы - схемы Кранка-Никольсона (схемы с усреднением). Для ПУГ схемы КН имеет вид

2ik(\/2h)[V(Ky)-V кх-Ку)] + %LlyV(xlby) (1.21)

+ V2 LlyV(x-h,y)- V2 A:e(>K(x+,;;) + V2 А:е>

. f(x-h,y) = 0,

где в исходное уравнение Гельмгольца (1.1) мы прибавили некоторую постоянную величину к€\ Полагая в (1.21) V (х ±h, у) =Л* V (х, j/), приходим для величин Л = Л к следующему характеристическому уравнению:

Л(1 +ф+7Р) + Л- (1 ф + р2) 2 = 0, (1.22)

где p = kh, у=1/2е -п/(2к). Находим корни (1.22)

l±Vl-(17P)V

Ai,2 =--, , 2- (1-23)

1 + Ф + ур

Сразу видно, что для любых у, т.е. для любых е\ п, I (если 2 4/-2 5j2 (,2/2)), при р > 1 под корнсм СТОИТ отрицатсльная величина и I Ai 2 I = 1. Процесс вычисления по схеме КН (и сама схема) устойчив при любом шаге / сетки по у, но только при условии kh> \, Если же потребовать, чтобы величина под корнем была отрицательна для сколь угодно малых значений р = kh, то имеемр(-1 + 27)< 0. Отсюда 2у > - 1, что при 6 = О дает 4 (kl)~ sin (nl/2) < 1, т.е. прежнее условие kl > 2.

Для оценки точности схем ЯС и КН в зависимости от шага h (считаем, что шаг / по 3; или многоточечная разностная схема по у выбраны так, что -п = д/Ьу с достаточной точностью) рассмотрим разложение корня fc в (1,18) по степеням/г. Запишем (1.18) в виде

Л(1 +ф) + Л-Ч1-ф)-2 + 27Р =0, (1.24)

A = exp(iKnh), р = кК 2у =-4 (kl)-sm\nl/2) 2 Уо =-пк Находим

ТТГр (-25)

Величина под корнем положительна при условии р <(1 +27/7), т.е. должно быть 27<1 или kl>2. Сразу же находим другое условие:

kh<y- уЛТ2У= V2 eiwi -т ) = /

т.е. условие (1.20)

Чтобы оценить ошибку, воспользуемся следующим разложением фазы Л (р) по степеням р:

А(р) = ехр (tap + ibp +...)= 1 + игр + ibp-(ap + bpf -

+- -н

3! 4!

Подставляя (1.26) в (1.24) и удерживая необходимое число членов, имеем

* Конечно, по степеням параметра р можно разложить корни (1.25) или (1.23) квадратичных характеристических уравнений. Однако этот путь более трудоемок.

1 + wp + ibp - ( P + bp f --~- (1 + P) - (1 -27)

- 1 или

Р(т-.-)+Р(--Ь-.Ь.-)=0. (1.28)

Откуда

3! (1.29)

Поскольку у21Уо = -п1к\ то ехр (фд) = (-/А:Л + h yjk-rp-) т.е. это просто точное решение УГ при x = h. Следовательно, член Ьр - искомая ошибка

екЧ {ekhf

Бяс=-г =---кк. (1.30)

6-8 42-8

Рассмотрим теперь ЯС при пятиточечной аппроксимации Ux, Ux о формуле Ричардсона

Уъ[УхАн- V3 +7з [2ikVx]H-

- Vs [2/Fj2.+f,3.F=0, (1-1)

где в скобках заключены производные, которые аппроксимируются на сетке с шагом h и 2h . Полагая V(x ± у) = Л- V(x, у), V(x ±2h,y) = = Л- V(x,y) из (1.31) получим для Л уравнение уже четвертого порядка

7з [(Л + Л--2)/Л] - Vs [(Л +Л--2)/4Л] +

+ 4 t/3 [(Л-Л-*)/;г] -гк/З [(А-A-)/2h] 2ку =0. (1.32)

Воспользовавшись снова разложением

А(р) = ехр (iap + /Ьр + icp) = I + iap + ibp + /ср + (1.33)

гдер = kh, легко находима =0 = -1 + V1 + 27,Ь = О,с 7/5!. Откуда

ясз Р)/(120 25)] jc, Е = [(А:Лб)/(1Ы20.25)].(1.34)

Вернемся теперь снова к схеме КН (1.21) и характеристическому уравнению (1.22). Используя разложение (1.26), находим а = аоЬ = \/6 . Следовательно,

(khef khe

Схема КН при пятиточечной аппроксимации V будет отличаться от ЯС (1.31) только тем, что последний член Lj К(х,з;) в (1.31) надо заменить на такое выражение:

Уъ11у[/2 V{xKy) V2 V{x-Ky)] - /з11у[/2У(х2Ку) +

+ V2 V(x-2h,y)].