но, сразу же возникает вопрос о классе нерегулярных волноводов. Для них узкоугловое приближение будет, естественно, расплываться в процессу распространения. Однако, как об этом сказано в гл. III, узкий угол в {в < д) может определять диаграмму направленности источника, а угол 5 - ошибку при используемом приближении. Как только благодаря нерегулярности волновода волны заполнят весь угол 5, необходимо использовать переразложение поля снова по 5-волнам. Частота повторения такой процедуры зависит от нерегулярности волновода и от величины б-угла.

Рассмотрим какой величины необходимо выбрать шаг h в схеме КН (1.10) и в формуле (1.12), чтобы ошибка разностной аппроксимации имела такой же порядок, как найденная ошибка аппроксимации ПУ и ПУГ Е = ПотоЦ2к). Пусть при п = По -i- т, qh < 1. Тогда tg /z = qnh + + {qnhf /3 + ... Следовательно,

Яп Qnhl(2K) = (-2пот-тЖ2к), (1.17)

q-пот/к - hWlK). (1.18)

Полагая h! п\то1{Ък) = awo/(2k), находим шаг

h = V3/cV(2aWoA2S) = l/Ve\/k/(monol (1.19)

Так, например, если А: = 10 , б = 10 = t?o = ( к, По = 10), то ддя

устойчивой ЯС необходимо взять h = 1/ке = 10 . Пусть то = Ю. Тогда из (1.19) находим /г ~1. Для этого примера в схеме КН шаг можно увеличить в 1000 раз по сравнению с ЯС для вычисления поля 5-волн, содержащих около двадцати нормальных волн 10 - 10 <п < 10 + 10. Направления их распространения сгруппированы вблизи угла = 0,1 рад. Они образуют некоторый луч, выходящий из источника. В другом примере положим к = 10 6 = 10 , Ляс = 10 . 0 = 10. Находим /гкн,б Ю. Здесь шаг можно взять уже в 10 * раз больше, чем в ЯС. Поэтому, если даже разбить все поле, состоящее из 10 нормальных волн, на 500 групп 5-волн по 20 нормальных волн в каждой группе, идущих вдоль соответствующих лучей, то вычисление волнового поля 5-волн потребует времени в ~20 раз меньше, чем при использовании ЯС.

Таким образом, путь вычисления поля состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо выбрать величину гпо, т.е. ширину 5-лучей - число нормальных мод поля 5-волн. При этом обеспечиваем необходимую точность Е тпЦк, Например, при гпо = 10, nllk = 10 , к = 10 имеем Е = 10 . Во-вторых, используя схему КН, можно значительно ускорить вычисление поля 5-волн по сравнению с ЯС. И в-третьих, суммируя поля 5-волн, вычисляем не лучевое приближение к полю, а само поле. Тем самым удается избежать всех трудностей классического лучевого приближения: устранить особенность лучевого приближения при вычислении поля на каустиках, рассмотреть проникновение волн в область геометрической тени. Хорошо известна также неэффективность ЛМ для дальних трасс и нерегулярных волноводов. Эти трудности ЛМ давно уже пытались обойти

Но луч, естественно, конечной ширины, так как бесконечно тонкие лучи и бесконечно протяженные фронты - это известная идеализация любой волновой задачи.

с помощью приближения узких гауссовых пучков. Но даже гауссовые пучки волн все равно приходилось вычислять в приближении ЛМ. Рассмотренное приближение узких пучков 5-волн на основе МКР и метода сеток позволяет упростить и ускорить вычисление полей.

Если углы выбраны достаточно часто так, что изменение поля 5-воли от угла к углу незначительно, то приближение 5-волн просто соответствует некоторому прореживанию полного волнового поля. Зная коэффициент прорежения Д т.е. отношение всей суммы 5-углов к полному углу, внутри которого распространяются волны, можно получить полное поле просто умножением вычисленного поля на постоянную величину, равную Z) = -const. Конечно, весь угол может быть достаточно широким, 5-волны могут взаимодействовать с границами волновода, на которых отражаются и рассеиваются .

Преимущества такого метода численного моделирования и описания полей очевидно. Он является синтезом лучевых, модовых и конечно-разностных представлений. Наглядность, высокая точность и скорохь, удиост-во графического отображения результатов расчета на экране дисплея, эффективность графического моделирования - все это существенно для метода. Наиболее полно его преимущества раскрьгоаются в процессе решения задач различных классов. Перейдем к рассмотрению двух классов таких задач - гармонических полей в волноводах, заполненных неоднородными средами, и негармонических полей звуковых импульсов в волноводах.

2. ПОЛЕ б-ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим ПУ с коэффициентом ip(y) > О в полосе х > О, О < j < я likVx + Vyy + keiy) F = 0. (2.1)

Пусть источник расположен в начале полосы приУо = п/2,х = 0. Функцию (у) возьмем такой, чтобы vK/2) = 1, р(0) = р(п) = О, т.е. чтобы в середине полосы волновое число (1 + €(р(у)) было максимальным, а скорость звука - минимальной. Рассмотрим, как пойдут лучи, выходящие из источника под разными углами х- По закону Снеллиуса со$х(у)к(у) = const, т.е. cosxCv)(l + €ip(y)) = const = cosxo(l + e), где Xo - Угол выхода луча из источника. Следовательно,

cosxCv) = cosxo(l +е)/[1 + бСу)]. (2.2)

Для граничного луча, который касается границ уо = О, у = тг, имеем cosXfc(l +6)=l,T.e.cosXfc=(l +е)-\

cosXk(y)= l/[l+eCv)], sin\(/fc = e(y)/[l + 6Cy)]. (2.3)

Пусть = г = r(x) - траектория граничного луча. Тогда dy

tgxCv)

*Если б-волны из одного угла рассеиваются в другие углы, то брать шаг h большим уже нельзя. Тогда правая часть (1.12) не будет уже малой величиной. В таком случае, пройдятрассу некоторой длины, становится необходимым переразложить поле в нерегулярном волноводе в соответствии с узкоугловым приближением.

у о 4\kiy) у о VeCv) Jo V 4v)(l *

= cosxo / л , =т=> .> (-

У о V Cv)-cosXo

что совпадает с известной формулой луча.

Теперь рассмотрим луч , соответствующий 5-волне. Этот луч, или соответствующая ему нормальная волна номера , выходит под углом sint б = njk, затем он идет в волноводе так, чтобы в ПУ (2.1) сумма [ Vyy + + ke{y)V] = [-п + к{у)]у=о обращалась в нуль вначале на нормальном сечении волновода в точке, где расположен источник, а затем и на любом сечении в точке, через которую проходит 5-луч. Сразу видно, что

sinXa =еф12) = е. (2.5)

Поэтому уже на сечении источника угол Хб отличается от угла Хл, определенного согласно (2.3), во втором порядке величины е. Тогда в процессе распространения 5-волны имеем

sinXs {у) = е{у), cosX6 М = 1 - е(у). (2.6)

Следовательно, для траектории у = {х) граничного луча 5-волн ( е. луча, который касается границ; = О, я) имеем

, , -ejy) , cos XoVl - (1 ~e{y))dy -77T ~~7=- - =- (2.7)

Как и следовало ожидать (2.7) отличается от (2.4). Приближенно находим

Г5 = г-(е/2) jiy). (2.8)

Следовательно, кривая граничного луча г(у) и кривая луча 5-волны проходят очень близко друг к другу тогда, когда неоднородность среды слабая.

На самом деле никаких 5-лучей, представляющих собой направление распространения волн, в волноводе нет. Есть просто некоторая траектория fdiy) вблизи которой сумма двух величин в ПУ Vyy + k€ip(y)V мало отличается от нуля тогда, когда вторая производная Vyy в этой сумме вычисляется в точке или окрестности узла сетки в приближении описания поля локально-плоскими волнами, распространяющимися как бы в однородной среде. Параметры однородной среды в точке у характеризуются коэффициентом е(/?(у). Такой путь соответствует описанию слабонеодио-родной среды в волноводе как локально-однородной.

Так можно выделять поле 5-лучей или 5-волн на уровне физического описания волновых процессов, происходящих в волноводе. Если требуется математически более точно вьщелить ту группу нормальных волн, для которых собственные значения /i задачи ШЛ расположены вблизи нуля в полосе -5 < д < 5, то это можно сделать на основании ряда математических и алгоритмических процедур.