0< z < 2/ в любой точке, в том числе и в точке z = 7, они вычисляются из линейной интерполяции, и, следовательно, соответственно фор. муле (2.2) имеем

ы(-21)-и(0) = Wi(t+/) -Wo(7-0. (2.2а)

Для нахождения функции в точке z = О, т.е. на границе двух сред, воспользуемся тем, что в окрестности этой точки при z = у - I и у поле и равно и(у - I) и и(у). После линейной интерполяции имеем

w(0) = w(7-/)7/2+w(7)(l-7/0. (2.5)

Аналогично в окрестности точки у при z = у - I и у имеем величины Wi (у -О и Ui (7). Следовательно, на границе z = О должно выполняться равенство

w(7-/)6 + (7)(l-5) = (7-05+ 1(7) (1-5), (2.6)

где 5 = y/L Мы снова пришли к тому, что для шести величин

w(7-2/), (7-0, и(у), иг(у), и,(у1), Ui(y-l)

имеется четыре уравнения (2.2а), (2.4), (2.6). Исключив из них величины w(7), Wi(7-/), w(7-2/), будем иметь для трех величин и+ = = 1(7 + 0, w =w(7 -/), Uo=Ui(y) соответствующее уравнение Гельмгольца.

Конечно, случай, когда узел не попадает на границу двух сред, можно бьшо бы и не рассматривать специально, если бы не одно обстоятельство. Если считать, что и = 0 при 7 = 7() или у=у(у), то это соответствует случаю неровной границы между двумя средами. Разностная схема обеспечивает аппроксимацию поля для сетки на такой границе даже в том случае, когда узлы прямоугольной сетки не попадают на криволинейную границу между средами.

Отметим, что если среды различаются не только волновыми числами, но и плотностью, то вместо равенства производных (2.2) необходимо воспользоваться соотношением

и(-21) -и(0) = [ i(0) - i(20], (2.7)

где т= p/pi.

3. МЕТОД РИЧАРДСОНА И ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ АППЮКСИМАЦИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ НА КРУПНОЙ СЕТКЕ

Метод Ричардсона основан на том, что если некоторая величина а(1) для малых / имеет разложение а(1) = аго + i + 0(*), то

а(1) = 0+ /1 + 0(/), (3 1)

а(21) = До + + 0(/).

Следовательно,

ао = Уза(1) -%а(21) +0(/). (3.2)

В предьщущем разделе были рассмотрены разностные схемы повышенной 124

точности порядка 0(/) вблизи границы. Такие схемы необходимы для дальнейшего повьппения точности по методу Ричардсона. В качестве простого примера рассмотрим дисперсионное уравнение для однородного слоя Л = const, 0< тг, лежащего на однородном полупространстве, в котором kl = const, у>7г. Имеем

уу- ku = О, 0< у<7г, (3 3)

IX + lyy к\щ =0. уУ-п. Пусть

и{х, у) = ы{у) ехр {ix) , щ (х, у) = Ui{y) ехр (/х) ,

и{0) =0, w(7r) = wi(7r), Чтг) = wUtt), (3.4)

ui{y)- Вехр{1{у-т)уЛг).

Находим и{у) = Л sin\J} - у. Следовательно, удовлетворяя условию на границе = тг, приходим к известному дисперсионному уравнению [20] для нахождения величин = 5 ( =1,2,...):

tg(7rV P) = \Пг\{1у1Ж-) (3.5)

Теперь рассмотрим эту же задачу в разностном варианте. Введем сетку с шагом 1{т[1-Щ по оси д. Используя зависимость от л: в виде множителя ехр(/л:), получим два разностных У Г

Lj (j) + (fc?-?) i(j)=0.

Ищем их решения в виде

и{у) = А тру, у = 0, I, ... N1, (ЗУ)

ui(y) = В exp(i(y -7г))д,

где после подстановки (3.7) в (3.6) величины р и q определяются из равенств

(4 )sin(p 2) = k-i\ (3 8)

(4 )sin( 2) = k\-.

Сразу видно, что р= vP- + Pi/ q =\/?- 5 + qi + .... Ошибка из-за разностной аппроксимации р п q имеет порядок . На границе У =71 потребуем выполнения условия u=Ui. В окрестности границы воспользуемся разностным УГ

[и(п-1) + wi(7r + /) -2w(0)] + (A:V2 + A:?/2-52)w(0) =0. (3.9)

Получаем два уравнения

А sinpn-B=0, (3 JQ)

А sinp(7r-/) -В exp(iql) + ik4/2 k\l/2-2)В =0,

из которых следует дисперсионное уравнение для определения

smpn[expiiql) кЧ/2 k\l/2-2] +sinp(7r-/) =0. (3.11)

Так как cos qi = I - (к - 5)/2, то несложно убедиться, что = niz т.е. р - четная функция шага сетки. Удобнее всего это сделать, если записать второе уравнение (3.10) в эквивалентном виде:

Л sinp(7r + /) -Л sinp(7r-/) + exp(f/) -В exp(-iql) =0. (3.10а)

Теперь видно, что уравнение как (3.9), так и (3.10а) от изменения знака / не меняет своего вида. Следовательно, его корни п(0 ~ четные функции от /. Аналогичным образом можно рассмотреть дисперсионное уравнение для двух или нескольких слоев как в дифференциальном, так и в разностном варианте.

Заметим, что реализация схемы Ричардсона требует выполнения двукратного решения разностной задачи сначала на сетке с шагом /, а затем с шагом 21. Этого можно избежать, если сразу аппроксимировать вторую производную в УГ по пятиточечной схеме, а на границе приравнивать не двух-, а четырехточечные аналоги первых производных согласно формуле

7з(з-2)/2-Уз(4-1)/4 = 7з( з- 2)/2-7з( 4- 0/4. (3.12)

На самой же границе поле полагаем равным нулю. Тогда

Zi + д - 2z2 = klZ2,

zi + flr-2z3 = klz, (3

Ml + J - 2W2 = k\lU2, u- a -2us = k\lU3.

Исключая из пяти уравнений (3.12), (3.13) четыре величиныZi,Z2, Wi, 1/3, приходим к уравнению, связывающему Wi, 1/2, flf, Z3, Z4, т.е. к пятичлен-ному разностному аналогу У Г на самой границе, где поле z = а. Нетрудно найти, какими разностными аналогами УГ надо пользоваться при пятиточечной аппроксимации УГ в окрестности границы.

Этот ряд примеров соответствует средам со скачком свойств, т.е. резкой границе, по обе стороны которой волновое число к (у) имеет разные значения. Если к(у) - непрерывная функция, а к(у), к (у) имеют разрывы, то, по-прежнему, исходя из продолжения поля за границу, возможна правильная аппроксимация УГ его разностным аналогом в окрестности таких границ. Такая аппроксимация дает порядок ошибки 1 более высокий, когда это необходимо при использовании в среде схем повьппен-ной точности более высокого порядка, что эквивалентно разностному аналогу УГ при семиточечной схеме.

4. ГИПОТЕТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Пусть под углом я> (5 = 1 sini>) из среды с волновым числом ki на границу л:=0 со средой к2 падает плоская волна ехр(/х Vк\- + i\y) Тогда отразится волна Vexp(-ix \Jк\- + / }у), а пройдет волна WQxp{ix\/k2~ iy). Приравнивая на границе д:=0 поля Ux{x,y), 126