получаем уравнение с вещественными коэффициентами

(к 2ка \ (к 2ка \

( 2ка\ 2ка 2ка

2ка-

2ка 14h

Р{х -h,y +1)-

2 kg

P(x-h,y +

+ 1[Р{х,у+1) + Р{х,у-1)-2Р{х,у)] =0. Его удобно представить в виде

/ kl 2ка \ ка

--P(x+h,y -l) + F=0,

P(x + h,y+l)-

(4.4)

/ kl 2ка \ ка

F = P(x-Ky){----г)-- [P(x+h,y+l) +

\ h h h

+ Р{х - Ку -l)\-P{x,y +l)-P{x,y - l)-P(x,y)-P(x,y).

(4.5)

Для вычисления функции F необходимо выполнить шесть сложений и два умножения. Полагая, как обычно,

P(x+Ky-l)=p(y)P(x+h,y) + q(y), (4.6)

видим, что для вычисления Р (х + у I) в узле необходимо всего одно умножение и одно сложение. Функция q удовлетворяет уравнению

q(y)-

Р(у-1)

Откуда

q(y-l)=piy-l)

= 0.

(4.7)

(4.8)

Для вьиисления правой части в (4.8) необходимо два умножения и одно сложение.

Итак, при вьиислении поля в одном узле согласно неявной вещественной девятиточечной схеме (4.4) всего необходимо вьшолнить пять умножений и восемь сложений над вещественными числами. Это примерно в 2,5 раза более трудоемко, чем при использовании вещественной пятиточечной явной схемы (1.4).

Оценим погрешность в схеме (4.1) при малых а, h и при использовании сетки с шагом h (I -0) на оси х. Имеем

V(x,y) = Х sin пу ехр (-ixKn),

(4.9) 139

(2ф)$ткпк = /г/(1 +а ). (4.10)

В пределе h О, о: О имеем sink = /2к = kJJ . Приближенно при малых h и а получаем

2кКгг-{2к1к)к1Н16 = -ап\ (4.11)

Следовательно,

= + hKh/6-anV2k = кК (hl4Sk)n-

-anV2k = (n/2k)(l + ht), (4.12)

где El = £2 =n/24k. Обозначим максимальное значение n для волн, которые необходимо учитьшать, через о- Пусть а =(а2оА)~- Тогда

aEi =По/К h<ho. ho-- 2к (I +аЛ/АЪ- 2к/поК hE2 = %nllN\

Таким образом, использование модифицированного ПУ и разностной неявной вещественной схемы для него дает возможность увеличить шаг h вдоль оси волновода, не потеряв при этом устойчивость. Это очень важно, когда приходится иметь дело с узким пучком волн < N. Если в этом случае применялась бы явная схема, то для сохранения устойчивости пришлось бы все равно двигаться достаточно мелким шагом. В неявной комплексной схеме КН крупный шаг возможен. Однако все вычисления требуют действий с комплексными числами. Для модифицированного ПУ (4.1) возможно как увеличение шага вдоль оси волновода, так и переход к вещественной схеме. Два этих обстоятельства приведет к значительному ускорению вычислений.

Конечно, ограничиться узким углом совсем не означает использовать малые значения h по сравнению N. Это просто означает, что используется узкоугловое приближение внутри широкого угла. Переход к ПУ 2/к Vx + Vyy + (/: /с ) F = О, а затем к модифицированному ПУ

2iK(V-aVyy)x + Vyy-(k-K)V=0 (4.13)

позволяет рассмотреть узкоугловое приближение в любом направлении достаточно широкого угла, а не только вдоль оси волновода. Как обычно, для решения (4.13) используется комплексная схема КН, а затем осуществляется переход к вещественной схеме. Переход к волноводам, заполненным неоднородной средой (х, у), при разностном решении задачи выполняется обычным путем.

5. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ВЕЛИЧИНАХ В СЕТОЧНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Пусть в полосе с идеальными границами при у = О и = тг (w = о,7г ~ = 0) волновое поле удовлетворяет УГ с вещественным коэффициентом Wjcjc * уу к(х, у) и = О, Умножая УГ на комплексно сопряженную величину и и интегрируя по области D - прямоугольника (а < х < Ь, О <з;<7г), находим

ffWxx+yy +k\x,y)]udxdy = I uu I J - fuu +

D (yj D

Oc) D yy + n\x,y)y]dxdy=0. (5.1)

Взяв мнимую часть (5.1), получим

Im f uujcdy = 0, (5.2a)

или

Im / w (b, j;) {b, y) dy = Im fu (a, y) {a, y) dy. (5.26)

Это равенство легко обобщить на область, верхняя и нижняя границы которой w г = О являются неравными, т.е. для нерегулярного волновода переменной ширины. Пусть при этом в окрестности сечения х = а имеется представление поля в виде суммы прямых и обратных волн и аналогичное представление при х=Ь

и (X,у) > (у) ехр (/ >х) + an Ф (у) ехр (-/ (>х), X = а±Ь,

и (X,у)= ф(у)ехр (/(*>х) + Ь-п (у)ехр (-/f ), (5-3) X = Ь±3. Подставляя (5.3) в (5.26), имеем

2 (I 1-1 Ъ = 2? <> [ I 6 () 1 - й <-) 1]. (5.4)

Поскольку - волновые числа соответствующих нормальных

волн, то (1.4) - просто формула сохранения потоков энергии. Например, пусть Ь~ = О, тогда в правой части волновода при х > b есть только уходящие волны. Поэтому согласно (5.2а, 5.26) и (5.4) поток энергии падающих волн 1,\а*п\п равен сумме потоков отраженных с амплитудами (а~) и проходящих (Ь волн.

Вместо УГ рассмотрим ПУ likV + Vyy + [к(х, у) - к] V = 0. Умножая его на К, а комплексно-сопряженное ПУ дпя V - т V, берем их разность. Затем, вычисляя интеграл по D и взяв мнимую часть, получаем n2ik(VV + VV)dxdy = 0.

Откуда

/ 2k\ V(a,y)\dy = f 2k\ V{b,y)\4y. (5.5)

(3) iy)

Равенство (5.5) вместо (5.26) означает, что все нормальные моды в приближении ПУ можно считать распространяющимися волнами с волновыми числами, близкими к = const. Причем к в обеих частях равенства (5.5) сокращается. Такое предположение соответствует замене и = = Кехр(/х), которая используется при вьшоде ПУ при условии, что Кх 0.