Рассмотрим волноводы с потерями. Пусть к(х, у) = kl(x, у) + + 1дф(х, у), где функция ф(х, у) характеризует потери в волноводе. Перейдем в разностном ПУГ с усреднения к вещественной схеме. Тогда вместо (5.19) имеем

а,1,т [гПкЧф 12] + а, , [1 -1УкЧф12] - 2а,гп=

= А, mv, т Pv, т (v, m + 1 + и, w-l), (5.23)

mD=h(lk4)- ; ф(х,у)=ф(гп \ Лпг ,Ри,т - коэффициенты, характеризующие среду, потери в среде и сетку. Используя (5.22), можно снова осуществить суммирование по всем узлам сетки, а затем найти инвариантные величины (5.22) и соответствующие поправки к ним в виде двойной суммы, которая каждый раз меняется, если изменяется поглощение в волноводе. Такой путь не является оптимальным.

Поэтому для слоистых сред, в которых Ф = ф(у) = Фт поступим иначе. В уравнении1,+ ! (1 +Рт)+1-1, m(l-Pm)= О сделаем замену m = bjjjn 5, где 5 - пока неизвестная функция дискретного аргумента. Тогда получим уравнение

bu+i,m (1 Рт)т + Ь-1, m (1 -)5+ ... = 0. Полагая

5ш = У \~ > (5.24)

1 +Рт

приходим к уравнению прежнего вида (5.22) только с другими коэффициентами а, 3, полученньп\4и делением величин Л1;+2 i3у т на5д (1+Pw) =

т пг - ov, mbv,m Pv, т Фи, m + 1 i lm +

+ b i5, i/5). (5.25)

Особенно простым уравнение (5.25) будет для постоянных потерь m±i = Тогда для нахождения величины b + i в одном новом узле потребуется два умножения и три сложения с потерями. Правда, затем, чтобы получить само поле ат, необходимо величины bj умножить на 5J. Для экономии это можно выполнить и на более редкой сетке. Так как < 1, то поле аг , ш в среде с потерями будет убьюать вдоль оси волновода как это и должно быть. Что же касается инварианта (1.22), то он будет прежним для величин Ь* :

= (bUi,m -Kbu+2) = const. (5.26)

Глава VII

ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ НА СЕТОЧНЫХ ОТРЕЗКАХ

Я хотел бы обратить внимание на аналогию между голографической записью и памятью людей.

Д. Габор

Существует, казалось бы, заколдованный круг, из которого нет выхода: нельзя сделать никакую работу без ясного понимания, но ясное понимание возникает только в конце работы и то не всегда. Стремление сначала понять эсе до самого конца, а потом уже работать - очень частая причина неудач.

А. Мигдал

1. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ И ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ СЕТОЧНЫЕ ОТРЕЗКИ

Метод сеток позволяет наиболее естественным образом установить связь между вычисленными или измеренными значениями поля на различных множествах узлов. Он позволяет осуществить пересчет поля с одного множества узлов на другое, если при этом удается сохранить устойчивость и необходимую точность разностных схем [47].

Рассмотрим в качестве примера У Г их + уу + ки = О с постоянным коэффициентом к в области х > О, О < у < п. Воспользовавшись заменой W =иехр( сх), перейдем к ПУ с постоянными коэффициентами к, к

liKV + Vyy + (к -K)v = 0. (1.1)

Его решение при условиях v (х, 0) = v (х, тг) = 0; v (О, у) - f {у) = = 2 fl sin пу имеет вид

v(x,y)=XanSin(ny)exp (- [(-az + к -/с)/2 с]х ) . (1.2)

Оно является суммой плоских волн, распространяющихся под разными углами. Рассмотрим узкий пучок волн внутри угла, соответствующего значению п вблизи По.По -то <По <По + то-Тогда

(х.у) = 2 j +sin[(A2o гп)у] ехр (-х X

Х[е -к -(no-m)]/2iK )\ (1.3)

Параметр к выбираем из условия

к-к-п1 = 0. (1.4)

При условии (1.4) для волны п = По первая производная Vx обращается в нуль. Для нормальных волн с номером п в окрестности По первая и вторая производные Vx, Vxx малы. Второй производной вообще можно пренебречь. Поэтому для этих волн выполнение равенства (1.4) создает наиболее благоприятное условие для применения ПУ.

Если По = A:simoj где Vq - биссектриса углового пучка По ± то, то к = A:cosio- Считая, что По > т, пренебрегаем в (1.3) величиной т

по сравнению с 2a2ow, имеем

(х,у) = S fl + sin[(A2o+А2)з;] exp(-ixm-tgio). (1.5)

Введем сетку с шагом / по (N1 = тг) и рассмотрим дифференциально-разностный аналог уравнения (1.1). Его решение У/ (х, у) имеет вид

щ (X, 3) = 2 sin ( 3;) ехр {- [/: - - (4 ) sin(A2 2)] /(2/к)} .

(1.6)

Для дальнейших преобразований решения (1.6) необходимо взять вполне определенную сетку. Ее шаг / выбираем из условия

По1 = п/2. (1.7)

Так как N1 = тг, то значение по как бы соответствует нормальной волне со средним номером между 1 и 7V, т.е. По =N/2, Затем находим значение параметра к из уравнения

к-к-2/1 = 0. (1.8)

Как условие (1.4) для дифференциальной задачи, так и условие (1.8) дпя разностной означают, что при п = по показатель экспоненты в (1.2) или в (1,6) обращается в нуль. Полагая п = По + т, имеем sin( 2) = = (1 - cosA2/)/2 = V2 (1 - cos ( о/ ml)) = V2 [1 - со8(тг/2 + m/)] = = V2 [1 + sin (m/)]. Тогда

У1,т(х,у)= 2 sin[( o+)3] X

X exp [- /xsin (ml)/(Kl)]. (1.9)

Введем в полосе x>0, 0<><тг сетку с шагами / и h по 3; и х. Тогда получим из уравнения (1.1) его разностный аналог

2iK[v(x-Ky)-v(x-hy)]l(2h) + [v(x,y+l)

+ v(x,y-l)]ll + (к-к -2ll)v(x,y) = 0. (1.10)

Пусть выполнено условие (1.8). Тогда последний член в (1.10) обращается в нуль. Имеем

2iK [v(x-hh,y)-v(x-h,y)] /(2Л) + [и (х,;;+/) + и (х,;;-/)] =0.

(1.10а)

Кроме того, шаг h можно брать не произвольным, а связанным с / и к. Положим

K/h = (1.11)

Теперь уравнение (1.10а) еще упростится:

и(х,з; +/) + u(x,j; -/) + г[и(х+/,з;)-и(х-/г,з;)] =0. (1.12)

Его решение представим в виде ряда

vih,n= 2 ansin[(no+m)y]exp[-(ix/h)(mI)]. (ЫЗ)